Rumus Identitas Trigonometri dan 2 Contoh Pembuktian
Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara besar sudut dan panjang sisi-sisi pada suatu segitiga. Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan fungsi-fungsi trigonometri dengan nilai yang sama. Persamaan fungsi trigonometri meliputi fungsi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari bagaimana cara membuktikan rumus identitas trigonometri.
Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan fungsi trigonometri lainnya. Satu persamaan fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang memiliki hubungan identitas trigonometri dapat dibuktikan. Pembuktian rumus identitas trigonometri dapat dilakukan melalui persamaan-persamaan fungsi trigonometri yang sudah terbukti kebenarannya. Contoh persamaan fungsi trigonometri yang sudah terbukti kebenarannya adalah sin2α + cos2α = 1.
Rumus Identitas Trigonometri dan 2 Contoh Pembuktian
Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara besar sudut dan panjang sisi-sisi pada suatu segitiga. Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan fungsi-fungsi trigonometri dengan nilai yang sama. Persamaan fungsi trigonometri meliputi fungsi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari bagaimana cara membuktikan rumus identitas trigonometri.
Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan fungsi trigonometri lainnya. Satu persamaan fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang memiliki hubungan identitas trigonometri dapat dibuktikan. Pembuktian rumus identitas trigonometri dapat dilakukan melalui persamaan-persamaan fungsi trigonometri yang sudah terbukti kebenarannya. Contoh persamaan fungsi trigonometri yang sudah terbukti kebenarannya adalah sin2α + cos2α = 1.
Pengantar Identitas Trigonometri
Sebelum membahas identitas trigonometri, akan diulas terlebih dahulu sisi segitiga siku-siku yang terdiri atas tiga sisi yaitu sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Sisi depan merupakan sisi yang berada di depan sudut. Sedangkan sisi samping berada pada samping sudut. Sisi miring merupakan sisi yang selalu berhadapan dengan sudut 90o.
Letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring tergantung pada letak sudut. Perhatikan letak ketiga sisi pada segitiga berikut.
Terlihat perbedaannya bukan? Mana sisi depan, sisi samping, atau sisi miring. Sebelumnya, telah disinggung bahwa fungsi trigonometri menyatakan hubungan sudut dengan sisi yang terdapat pada sebuah segitiga. Bagaimana hubungannya?
Tiga fungsi trigonometri yang utama adalah fungsi sin, cos, dan tan. Definisi ketiga fungsi tersebut dengan sisi dan sudut pada segitiga dapat dilihat pada gambar dan persamaan di bawah.
Persamaan fungsi trigonometri dapat diingat melalui sebuah “jembatan keledai” melalui rangkaian kata sin-demi, cos-sami, tan-desa.
Selain tiga sudut utama pada fungsi trigonometri, yaitu fungsi sin, cos, dan tan, terdapat fungsi kebalikannya, yaitu fungsi coses, sec, dan cotan. Perhatikan persamaan yang diberikan di bawah.
Contoh beberapa besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o. Selain itu juga terdapat sudut istimewa lain, karena grafik trigonometri bersifat periodik. Nilai besar sudut dari lima sudut istimewa pada segitiga dapat dilihat pada gambar di bawah.
Rumus berikut dapat digunakan untuk mencari besar nilai fungsi trigonometri yang ada hubungannya dengan sudut istimewa yang diberikan di atas. Berikut ini adalah relasi sudut fungsi trigonometri.
Untuk menjelaskan lebih detail penggunaan relasi sudut fungsi trigonometri akan ditunjukkan melalui contoh soal.
Akan ditentukan nilai sudut Sin 225o: Sin 225o = – Sin (180o + 45o) Sin 225o = – Sin 45o Sin 225o = –½√2
Terlihat fungsi rumus relasi sudut pada identitas trigonometri bukan? Salah satu fungsinya untuk menentukan besar fungsi trigonometri untuk sudut yang cukup besar (di atas 90o) hanya dengan mengetahui besar sudut istimewa di bawah 90o.
Rumus Identitas Trigonometri
Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya. Misalkan fungsi sec yang merupakan fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain seperti cosec dan cotan. Selain fungsi kebalikan, ada fungsi identitas trigonometri yang juga menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri.
Beberapa persamaan identitas trigonometri berikut cukup sering digunakan sebagai pembuktian rumus identitas trigonometri yang lebih komoleks.
Selain ketiga bentuk rumus di atas terdapat juga rumus identitas sudut rangkap dan jumlah/selisih sudut.
Identitas Fungsi Trigomteri Sudut Rangkap
Identitas Fungsi Trigomteri Jumlah dan Selisih Sudut
Pembuktian rumus sin2α + cos2α = 1
Cara membuktikan rumus identitas trigonometri dapat dilakukan dengan cara merubah ruas kiri agar sama dengan ruas kanan. Atatu dapat juga dengan cara merubah ruas kanan sama dengan ruas kiri. Sebagai contoh, akan dibuktikan kebenaran dari rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.
Perhatikan gambar di bawah!
Berdasarkan nilai sinus dan cosinus seperti pada segitiga di atas dapat diperoleh persamaan berikut.
Sebelum melanjutkan pembuktian rumus, ingat kembali persamaan pada pythagoras seperti yang terlihat pada gambar di bawah.
Substitusi persamaan x2 + y2 = r2 ke dalam persamaan terakhir yang diperoleh sehingga menjadi seperti persamaan berikut. sin2α + cos2α = r2/r2 sin2 α + cos2 α = 1 (Terbukti)
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh pembuktian identitas trigonometri di bawah dapat sobat idschool gunakan sebagai gambaran bagaimana cara membuktikan persamaan trigonometri.
Contoh Identitas Trigonometri #1
Buktikan persamaan rumus identitas trigonometri di bawah!
Bukti:
Terbukti
Contoh Identitas Trigonometri #2
Buktikan rumus identitas trigonometri berikut!
cos3α = 4 cos3α – 3 cos α
Bukti rumus identitas trigonometri cos 3α = 4 cos3α – 3 cos α: cos 3α = cos (2α + α) = cos 2α cos α – sin 2α sin α = (2 cos2α – 1)cos α – 2 sin α cosα sinA = 2 cos3α – cos α – 2sin2α cos α = 2cos3α – cos α – 2(1 – cos2α)cos α = 2 cos3α – cos α – 2 cos α + 2 cos3A = 2 cos3α + 2 cos3A – cos α – 2 cos α = 4 cos3α – 3 cos α [terbukti]
Komentar
Posting Komentar