Rangkuman Matematika Wajib

                    NILAI MUTLAK    

* Pengertian Nilai Mutlak

Nilai Mutlak lambangnya|| menyatakan jarak, nilainya selalu positif atau 0 atau |p|≥ 0 untuk setiap bilangan real p. Sifatnya :

1. |-x|=|x|,

2. |x-y|=|y-x|,

3. |x| = √x²,

4. |x|² = x²,

5. |x.y|=|x| |y|,

6. |x/y| = | x/y| dengan y ≠ 0,

7. |x-y|² = (x-y)² = x² - 2xy + y²,

8. |x+y|² = (x+y)² = x² + 2xy + y²,

9. |x| = { x, untuk x ≥ 0

              {  -x, untuk x < 0

10. |ax+b| = { (ax+b), untuk ax + b ≥ 0

                       { -(ax + b), untuk ax + b < 0

11. Dalam segitiga berlaku |a + b| ≤|a|+|b|

12. Dalam segitiga berlaku|a - b| ≥|a|+|b|

13. Ingat bahwa |a + b| ≠|a|+|b|dan|a - b|≠|a|-|b|  

* Pengertian Nilai Mutlak 

1. |-x|=|x|, →|-5|=|5|=5

2. |x-y|=|y-x|,→|3-7|=|7-3|= 4

3. |x| = √x²,→|2|= √4² = 2

4. |x|² = x²,→|6|² = 6² = 36

5. |x.y|=|x||y|,→|7.8|=|7||8|= 56

6. |x|   |x|.                            |2|   |2|    2.     1

     —  =   — dengan y ≠ 0,→ —  =  —  = — = —

    | y|  |y|.                            |6|   |6|    6      3

7. |x-y|² = (x-y)² = x² - 2xy + y²                 → 

    |3x-2y|² = (3x-2y)² = 9x² - 2(3x)(2y) + 4y² = 9x² - 12xy + 4y²

8.|x + y|² = (x + y)² = x² + 2xy + y²         →
|5x + 8|² = (5x + 8)² = 25x² + 2(5x) (8) + 64 = 25x² + 40x + 64

9.|x| = { x, untuk x ≥ 0 
                              →|4|= {4 untuk 4≥0
                                           { -4 untuk - 4 < 0

               { -x, untuk x < 0

10.|ax + b| = { (ax + b), untuk ax + b ≥ 0
                         {-(ax + b), untuk ax + b < 0
|2x + 6|= { (2x + 6), untuk 2x + 6 ≥ 0 →x ≥ -3
                  {- (2x + 6), untuk - 2x - 6 < 0→x < -3

* Sifat Persamaan Nilai Mutlak

1. |f (x) = p←→ f (x) = p atau f (x) = -p,

2. |f (x)|=|g (x)|←→f (x) = g (x) atau f (x) = - g (x),|f (x)|= g (x)|² ←→[ f (x) + g (x) ] [ f (x) - g(x) ] = 0,

3. a| f (x)|+ b|g (x)|+ c = 0, solusinya cek setiap interval yang sesuai definisi|f (x)|dan|g (x)|

4. a|f (x)|² + b| f (x)| + c = 0, dimasalkan f (x) = L dan persamaannya menjadi a L² + b L + c = 0 dan L1 dan L2 akar persamaan a L² + b L + c = 0 dan solusinya persamaannya f (x) = L1 atau f(x) = L2

* Contoh soal Persamaan Nilai Mutlak

1. Jika p ≥ 0 │f(x)│ = p ←→f(x) = p atau f(x) = – p, 

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2|3x – 8| = 10

2 |3x – 8| = 10 → |3x – 8| = 5

                   (3x – 8) = 5 atau (3x – 8) = – 5

                      3x – 8 = 5 atau 3x – 8 = – 5   

                            3x = 13 atau 3x = 3 

                              x = 𝟒 𝟏/𝟑 atau x = 1 jadi Hp {1, 𝟒 𝟏/𝟑}

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari │x2 + 2x – 3│ = 3 → x² + 2x – 3 = 3 atau x² + 2x – 3 = – 3

                                              x² + 2x – 6 = 0 atau x² + 2x = 0

       Rumus abc: 𝑥_1,2=(−2±√(2^2−4(1)(−6)))/(2(1)) atau x(x + 2) = 0

                                        x = −1+√7 dan x = −1−√7 atau x = 0 dan x = – 2 

Jadi Hp {−1−√7 , – 2, 0, −1+√7 

* Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. |f(x)|< p←→— p < f(x) < p,

2.|f(x)| ≤ p←→ — p ≤ f(x) ≤ p,

3. |f(x)|> p←→f(x) > p atau f(x) <- p,

4. |f(x)|≥ p←→f(x) ≥ p atau f(x) ≤ - p,

5. |f(x)| <|g(x)|←→|f(x)|² <|g(x)|²←→ [ f(x) + g(x)] [ f(x) - g(x) ] < 0,

6. |f(x)|≤|g(x)|←→|f(x)|² ≤|g(x)|²←→[ f(x) + g(x) ] [f(x) - g(x) ] ≤ 0,

7.|f(x)| >|g(x)|←→|f(x)|² >|g(x)|²←→[ f(x) + g(x) ] [ f(x) - g(x) ] > 0,

8.|f(x)| ≥|g(x)|←→|f(x)|² ≥|g(x)|²←→[ f(x) + g(x) ] [ f(x) - g(x) ] ≥ 0,

9.|f(x)|

        — < a ←→|f(x)|< a|g(x)|,

    |g(x)|

10. a|f(x)|+ b|g(x)|+ c ≥ 0

11. a|f(x)|² + b|f(x)|+ c > 0 misalnya f(x) = L maka pertidaksamaan nya menjadi a L² + b L + c > 0 diperoleh L atau diperoleh L1 < |f(x)| < L2.

12. a|f(x)|² + b|f(x)|+ c ≤ 0 misalnya f(x) = L|f(x)| = y sehingga persamaannya menjadi ay² + by +c = 0 diperoleh y atau diperoleh|f(x)|< y1 atau|f(x)| > y²⅓

*CONTOH SOAL PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1. │f(x)│ < p ←→ – p < f(x) < p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 9 |< 2 

maka −2 < x – 9 < 2 → 7 < x < 11 jadi Hp { 7 < x < 11}

2. │f(x)│ ≤ p ←→ – p ≤ f(x) ≤ p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x + 1│ ≤ – 5 

←→ hasil dari nilai mutlak tidak mungkin negatif maka Hp { } atau himpunan kosong

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 2│ ≤ 5 

←→ – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 → – 7 ≤ 3x ≤ 3 

                                   → −7/3≤ x ≤1→Hp {−7/3≤𝑥≤1}