SPLDV

                Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

A. Definisi dan Bentuk Umum SPLDV

Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat ditulis sebagai berikut 

 ax + by = c                             a1x + b1y = c1                         

                                 Atau                                                  

px + qy = r                             a2x + b2y = c2

x , y disebut variabel
a, b, p, q disebut keifisien
c , r disebut konstanta

Dengan a, b, c, p, q dan r atau a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 merupakan bilangan-bilangan real. Dari bentuk umum di atas, apabila c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan homogen. Sedangkan apabila c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan tak homogen.

- Contoh SPLDV homogen

x + 2y = 0

2x – y = 0

dan

x – 4y = 0

3x + 2y = 0

- Contoh SPLDV tak homogen

2x + 3y = 1

x – y = 0

dan

x + 3y = −1

x – 4y = 2

B. Ciri–Ciri SPLDV

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear dua variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.

■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

■ Memiliki dua variabel

■ Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

C. Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLDV

Terdapat beberapa komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel, yakni:

1) Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh :

6x – y + 4 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4.

2) Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel dan 5 buah mangga. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 2x + 5y

3) Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel dan 5 buah mangga. Jika di tulis dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 2x + 5y. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2 dan 5 adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y.

4) Konstanta

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh :

2x + 5y  + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah  7, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

D. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan cara :
1. Substitusi
Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain.
contoh :

jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi :
2 (8 – 2y) – y = 6  (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 10/5 = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 - 4
x = 4

2. Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salah satu variable x atau y
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x

5y = 10
y = 10/5
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam salah satu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4

(ii) mengeliminasi variable y

x = 20/5
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam salah satu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 4/2
y = 2

* catatan
nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar
menjadi 0
Contoh di atas:
(i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + , untuk eliminasi digunakan tanda (–)
(ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - , untuk eliminasi digunakan tanda (+)

3. Grafik

Dengan menggambarkan persamaan linearnya pada koordinat Cartesius, titik potong dari kedua persamaan linier tersebut merupakan penyelesaiannya.

Contoh:
Carilah penyelesaian dari:

Jawab:

dari gambar grafik terlihat titik potong garis x + y = 8 dan 2x – y = 4 adalah (4,4).

Contoh soal penggunaan sistem persamaan linear dua variabel :
Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila harga untuk membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-. Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan
model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas menjadi :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
masukkan ke dalam salah satu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk) sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah
4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000
= Rp. 11.000,-