SPLTV

 Definisi dan Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Ciri–Ciri SPLTV

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.

■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

■ Memiliki tiga variabel

■ Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLTV tersebut :

#1  Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh :

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y, 4z dan 7.

#2 Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z.

#3 Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.

#4  Konstanta

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh :

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah  7, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

 Contoh soal metode Eliminasi 

• 3x + y – 2z = 9
• 2x + 2y + z = 3
• x – 4y – 12z = 0

Carilah x, y, dan z pada persamaan di atas !

Penyelesaian :

• 3x + y – 2z = 9     →           (persamaan 1)
• 2x + 2y + z = 3    →           (persamaan 2)
• x – 4y – 12z = 0    →           (persamaan 3)

a. Eliminasi z persamaan 1 dan 2 :

• 3x + y – 2z = 9     | x 1 |    →    3x + y – 2z = 9
• 2x + 2y + z = 3    | x 2 |    →    4x + 4y + 2z = 6

Hasil persamaan 1 dan 2 dalam eliminasi z :

• 3x + y – 2z = 9
• 4x + 4y + 2z = 6  +  (jika koefisien negatif dan positif, gunakan penjumlahan)
• 7x + 5y + 0 = 15      →      7x + 5y = 15    →    (persamaan 4)

b. Eliminasi z persamaan 1 dan 3 :

• 3x + y – 2z = 9     | x 6 |    →     18x + 6y – 12z = 54
• x – 4y – 12z = 0    | x 1 |    →         x – 4y – 12z  = 0

Hasil persamaan 1 dan 3 dalam eliminasi z :

• 18x + 6y – 12z = 54
•     x – 4y – 12z  = 0  _   (jika koefisien keduanya negatif, gunakan pengurangan)
• 17x + 10y + 0 = 54       →     17x + 10y = 54    →    (persamaan 5)

c. Eliminasi y persamaan 4 dan 5 :

•   7x + 5y = 15       | x 2 |     →      14x + 10y = 30
• 17x + 10y = 54     | x 1 |     →      17x + 10y = 54

Hasil persamaan 4 dan 5 dalam eliminasi y :

• 14x + 10y = 30
• 17x + 10y = 54  _    (jika keduanya positif, gunakan pengurangan)
• (-3x) +  0  = -24
• (-3x) = -24
• x = (-24)/(-3)
• x = 8

d. Disubstitusikan ke dalam persamaan 4 :

x = 8

• 7x + 5y = 15
• 7(8) + 5y = 15
• 56 + 5y = 15
• 5y = 15 – 56    →    (pindah ruas)
• 5y = -41
• y = -41/5

e. Disubstitusikan ke dalam persamaan 3 :

x = 8

y = -41/5

• x – 4y -12z = 0
• 8 – 4(-41/5) – 12z = 0
• 8 + 84/5 – 12z = 0
• 8 + 84/5 = 12z    →   (pindah ruas)
• 8(5/5) + 84/5 = 12z
• 40/5 + 84/5 = 12z    →    (dibuat pecahan dengan menyamakan penyebutnya)
• 124/5 = 12z
• 12z = 124/5    →    (dibalik)
• z = 124/(5 . 12)
• z = 124/60    →    (disederhanakan angkanya dengan masing-masing dibagi 4)
• z = 31/15  

Jadi, hasil x, y, dan z adalah :

• x = 8
• y = -41/5
• z = 31/15

Contoh soal metode Substitusi

• a + b + c = 5           …… (1)
• 2a – 3b – 4c = –11 …... (2)
• 3a + 2b – c = –6    …... (3)

Jawab

Dari persamaan (1) diperoleh:

a + b + c = 5

a = 5 – b – c …… persamaan (4)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2)

2a – 3b – 4c = –11

2(5 – b – c) – 3b – 4c = –11

10 – 2b – 2c – 3b – 4c = –11

–2b – 3b – 2c – 4c = –11 – 10

–5b – 6c = –21

==> kedua ruas kali negatif <==

5b + 6c = 21 ….. persamaan (5)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3)

3a + 2b – c = –6

3(5 – b – c) + 2b – c = –6

15 – 3b – 3c + 2b – c = –6

–3b + 2b – 3c – c = –6 – 15

–b – 4c = –21

==> kedua ruas kali negatif <==

b + 4c = 21

b = 21 – 4c ……. persamaan (6)

Substitusikan persamaan (6) ke persamaan (5)

5b + 6c = 21

5(21 – 4c) + 6c = 21

105 – 20c + 6c = 21

–20c + 6c = 21 – 105

–14c = –84

c =  

c = 6

Substitusikan nilai c = 6 ke persamaan (6)

b = 21 – 4c

b = 21 – 4(6)

b = 21 – 24

b = –3

Substitusikan nilai c = 6 dan b = –3 ke persamaan (4)

a = 5 – b – c

a = 5 – (–3) – 6

a = 5 + 3 – 6

a = 2

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah

HP = {(a, b, c)}

HP = {(2, –3, 6)}